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Sucesos y Probabilidad

Sucesos
Probabilidad

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Cuando se realiza un experimento aleatorio desconocemos el resultado que se va a obtener, sería conveniente tener una medida que nos permitiese intuir qué resultado es más posible, esta medida va a ser la probabilidad, que nos dará una idea inicial de lo que puede ocurrir en un experimento.
Imaginemos que tenemos un dado en el que en lugar de los número del 1 al 6, hay 5 caras con un 1 y otra con un 2, nuestro espacio muestral = {1 , 2} intuitivamente notamos que al lanzarse el dado lo más probable es que salga un 1. Con la probabilidad cuantificaremos esa idea intuitiva.

Definición axiomática de probabilidad.
Si llamamos S al conjunto de todos los posibles sucesos asociados a un espacio muestral, definimos axiomáticamente la probabilidad como una función que asocia a cada suceso A un número real, que será su probabilidad. cumpliéndose las siguientes condiciones:
Ax.1 La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula P(A)0
Ax.2 La probabilidad del suceso seguro es 1 P()=1 
Ax.3 Dados dos sucesos A y B y tales que A B= Ø, es decir, son incompatibles, entonces:
P(A U B)=P(A)+P(B)

De la definción axiomática de probabilidad se tienen las siguientes consecuencias:

1.- Si dos sucesos son complementarios entonces P(Ac)=1-P(A)
     De la definición de suceso complementario se tiene que A U Ac = y A Ac = Ø
     Por el Ax.3 P(A U Ac)= P(A)+P(Ac) como A U Ac = y P()=1(Ax.2)
     1=P(A)+P(Ac) => P(Ac)=1-P(A)

2.- La probabilidad del suceso imposible es 0. P(Ø) = 0
     Ø = c, luego P(Ø)=1-P() => P(Ø) = 0

3.- Si un suceso A está contenido en otro B, , entonces,
      implica que B = A U (B-A) con A (B-A)= Ø, luego
     P(B) = P(A) + P(B-A), por Ax.1 P(B-A)0, entonces

4.- Si tenemos k sucesos A1,A2,...,Ak incompatibles dos a dos Ai Aj= Ø, entonces
     P(A1U A2U...U,Ak)=P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak)

5.- Dados dos sucesos cualesquiera se tiene P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)   
P(A U B) = P(A-B) + P(B-A) + P(AB)
Por otro lado P(A) = P(A-B) + P(AB) y
P(B) = P(B-A) + P(AB)
P(A-B)=P(A) - P(AB) y P(B-A)=P(B) - P(AB)
y sustituyendo se obtine el resultado deseado
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)