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Sucesos y Probabilidad

Sucesos
Probabilidad

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Teorema de la probabilidad total

Sean los sucesos A1,A2,...,Ak una partición del espacio muestral, es decir, son incompatibles dos a dos
Ai Aj= Ø y A1U A2U...U Ak= y sea B un suceso cualquiera, entonces:



Comprobemos que la afirmación es cierta:
P(B)=P(B ) = P(B ( A1U A2U...U Ak)) = P((B A1 ) U (B A2 ) U...U(B Ak ))
Como Ai Aj= Ø entonces ( BAi ) (BAj )= Ø y por tanto
P((B A1 ) U (B A2 ) U...U(B Ak ))=P(B A1 )+P (B A2 )+...+P(B Ak )
por la definición de probabilidad condicionada sabemos que P(B Ai )=P(B/Ai )·P(Ai )
de donde se obtiene la conclusión deseada
P(B)= P(B/A1 )·P(A1 )+P(B/A2 )·P(A2 )+...+P(B/Ak )·P(Ak )

Para calcular P(B) es de gran ayuda la representación de un diagrama de árbol como su muestra en el ejemplo.

Tenemos tres urnas, la primera contiene 4 bolas blancas y 2 negras, la segunda 3 blancas y 3 negra y la tercera 3 blancas y 6 negras. Se elige una urna al azar (se supone que la elección de urnas es equiprobable) y se extrae una bola. Calcula la probabilidad de que la bola extraída sea negra.



P(N) = P( N / U1 )·P(U1)+P( N / U2 )·P(U2)+P( N / U3 )·P(U3)